A zrejme ešte nejakú dobu vzdorovať bude. Deväťdesiatročný matematik totiž namiesto jednoduchého dôkazu dal svojim kolegom domácu úlohu, uvádza Technet.cz.
"Kto dokáže Riemannovu hypotézu, stane sa slávnym," uviedol počas svojej prednášky len tak medzi rečou Michael Atiyah, deväťdesiatročný britský matematik. Ťažko ho však môže niekto podozrievať z toho, že sa usiluje o slávu. Atiyah patrí medzi najuznávanejších matematikov súčasnosti. Je držiteľom dvoch najvýznamnejších ocenení tejto kráľovnej vied: Fieldsovej medaili (1966) a Ábelovej ceny (2004).
Snáď preto Atiyah vzápätí dodal: "Ak už však ste slávnym, tak sa takýmto dôkazom stanete neslávne známym." Celkom správne teda predpokladal skeptickú reakciu matematickej komunity na to, čo v abstrakte svojej prednášky nazval "jednoduchým dôkazom" slávnej Riemannovy hypotézy (na prednášku sme upozornili v tomto článku:
"Prečo ešte nebola Riemannova hypotéza vyriešená? Nikto neverí žiadnym z tých takzvaných dôkazov, ktoré sa za tie roky objavili," podotkol z kraja prednášky Atiyah. "Keď poviete, že ste využil nejaké už známe metódy a len ste to lepšie nakombinovali, odpovedia vám, že je to nezmysel, keby to bolo také jednoduché, už to vyriešil niekto múdrejší ako vy. Ale keď poviete, že ste použili radikálne nový prístup, tak si povedia: Dobre, to si vypočujeme."
Naozaj stručný úvod do Riemannovej hypotézy
Riemannova hypotéza fascinuje a trápi matematický svet už od polovice 19. storočia. Vzťahuje sa k určitým špeciálnym výsledkom Riemannovej funkcie zeta, ktorá počíta súčet nekonečných radov.
Trebárs zeta pre číslo 2 je súčet nekonečného radu 1 + 1 / (22) + 1 / (3²) + 1 / (4²) + 1 / (5²)..., čo je nekonečný rad, ktorej súčet sa však blíži (konverguje) ku konečnému číslu: 1,645... Podobne potom pre číslo 3 je zeta 1 + 1 / (23) + 1 / (3³) + 1 / (4³) + 1 / (5³)...
Takto možno spočítať hodnoty funkcie zeta pre čísla väčšie ako jedna. Ale je to oveľa zložitejšie. Nemecký matematik Bernhard Riemann (1826 - 1866) ale ukázal, že funkcia zeta dáva zmysel aj pre čísla nižšie ako jedna a dokonca aj pre čísla komplexné (ktoré majú reálnu a imaginárnu časť). Tam sa tento súčet nekonečného radu posčítať nedá, aspoň nie v zmysle, ako o súčte bežne hovoríme.
Čo s tým? Pre niektoré výpočty (a tu nás nechytajte veľmi za slovo, tu sa vydávame za hranice nášho chápania, pozn. red.) Môžu matematici "pretiahnuť" výsledky z jednej časti plochy na druhú, tzv. analytické rozšírenie funkcie. Čo funguje, ak zároveň z tohto pretiahnutia nerobíme nezmyselné závery, inými slovami, musíme si pamätať, že pri pretiahnutí funkcie sme sa dopustili istého triku. Trebárs zeta pre -1 po takomto analytickom rozšírení nadobudne hodnoty -1/12, hoci ide vlastne o súčet všetkých prirodzených čísel, ktorý samozrejme nie je konečný.
Riemannova zeta funkcia má teda výsledok pre akékoľvek komplexné číslo (okrem jednotky). A tu to začína byť ešte len zaujímavé. Teda aspoň pre matematikov, ktorí sa venujú teórii čísel. Pre niektoré čísla vyjde Riemannova zeta funkcia nula a tieto nuly (korene) sú buď triviálne predvídateľné (všetky párne záporné čísla -2, -4, -6 atď.), Alebo naopak úplne nepredvídateľné. A práve tieto "netriviálne" korene ležia z nejakého dôvodu všetky na priamke, ktorej reálna hodnota je rovná 1/2.
Vizuálny pohľad na Riemannovu zeta funkciu (3Blue1Brown, anglicky):
Teda zatiaľ tu ležia všetky známe netriviálne korene. A to je práve podstatou Riemannovej hypotézy. Tá tvrdí, že na priamke 1/2 ležia všetky netriviálne nuly. Stačilo by nájsť jediný taký koreň, ktorý leží inde, a hypotéza by prestala platiť. Poznáme už miliardy netriviálnych koreňov (núl) a všetky ležia na priamke 1/2 (priamka je kolmá na os x, na obrázku je znázornená prerušovane).
Problém patrí medzi tzv. Problémy tisícročia, vyriešiť sa ho za takmer 160 rokov pokúsili už tisíce matematikov a zatiaľ neúspešne. Za vyriešenie v roku 2000 vypísal Clay Mathematics Institute odmenu vo výške milióna dolárov. Práve o túto čiastku sa teraz uchádza Michael Atiyah.
Atiyah sa k riešeniu Riemannovej hypotézy dostal okľukou
"Ja som nezačal tým, že by som chcel vyriešiť Riemannovu hypotézu," povedal počas svojej prednášky, takmer ospravedlňujúco, matematik britsko-libanonského pôvodu. "Sotva som vedel, čo to Riemannova hypotéza je. Skúmal som niečo úplne iné. Skúmal som fyzikálne problémy."
Atiyah didn't set out to prove the Riemann Hypothesis. He was trying to derive the fine structure constant (yes, that thing from physics). The RH was just a bonus. #HLF18 pic.twitter.com/vaPpOgot19
— Markus Pössel (@mpoessel) 24. septembra 2018
Atiyah vo svojej štúdii (ktorú zaslal k publikácii v roku 2018 do prestížneho britského vedeckého časopisu, ale zatiaľ neprešla recenzným konaním) skúmal tzv. konštantu jemnej štruktúry, ktorá sa týka elektromagnetickej interakcie a hrá dôležitú úlohu v kvantovej fyzike. Fyzici vedia túto konštantu namerať, ale nevedia, ako ju spočítať "s ľubovoľnou presnosťou".
Slávny fyzik Richard Feynman označil túto konštantu za jednu z najväčších záhad modernej fyziky. A Michael Atiyah sa domnieva, že našiel spôsob, ako túto konštantu vyjadriť elegantnejšie.
"A vo chvíli, keď Atiyah našiel konštantu jemnej štruktúry, dal nohy hore, otvoril šampanské a zistil, že omylom dokázal Riemannovu hypotézu," glosoval prednášku na Twitteri astronóm Markus Possel z Heidelbergu. A skutočne, na samotný "dôkaz Riemannovej hypotézy" potom Atiyahovi stačil jeden jediný slajd.
K dôkazu teda Atiyah využíva tzv. dôkaz sporom. Predpokladá, že je pravda niečo, čo by hypotézu poprelo (koreň medzi nulou a jednotkou, ale nie na priamke 1/2), a potom ukáže, že by takýto predpoklad viedol k sporu, čím je dôkaz vykonaný.
Teda - je vykonaný, pokiaľ ide skutočne o spor. A o tom ani nami oslovení matematici nie sú presvedčení.
Kto je ten Todd a prečo by sme mu mali veriť?
Hlavný problém s dôkazom sa zdá byť v tom, že Atiyah neukázal nejakú evidentnú súvislosť odkazovaných fyzikálnych konceptov s Riemannovou zeta funkciou.
"Vyzerá to neuveriteľne," povedal sám Atiyah,"ale tvrdím, že všetká dôležitá práca bola odvedená pred sedemdesiatimi rokmi." Odkazuje sa na prácu Johna von Neumanna a Friedricha Hirzebrucha.
"Zatiaľ som z toho nemal pocit, že by sa z tej prednášky dalo niečo usúdiť," je pri záveroch opatrný Mirko Rokyta, prodekan pre matematickú sekciu z Matematicko-fyzikálnej fakulty Univerzity Karlovej. "Tá prednáška obsahovala veľa histórie a kontextu, ale priamo ten dôkaz tam ukázaný nebol. A z toho päťstranového PDF, ktoré na internete koluje, to teda tiež nie je jasné, podrobnosti tam tiež nie sú." Podľa Rokytu bude potrebné, aby Atiyah poskytol matematikom ďalšie podrobnosti, ktoré komunite umožnia dôkaz preveriť.
"Sú tam také štyri všeobecné kroky a o každom z nich by sa dalo dlho diskutovať. Tie medzikroky nie sú podložené žiadnym argumentom," dodáva Rokyta.
Jeho skeptický pohľad nie je ojedinelý. "Atiyahov dôkaz sa môže potvrdiť, alebo - a to je pravdepodobnejšie - sa ukáže, že nikam nevedie," píše Peter Lynch, emeritný profesor matematiky na UCD School of Mathematics and Statistics. Lynch je skeptický k použitej Toddovej funkcii.
Atiyah sa v závere prednášky posťažoval na to, že matematický svet nie je myšlienkam "starších" naklonený, a zároveň vyslovil domnienku, že jeho nápad je príliš nový, a preto bude odmietaný.
Zatiaľ je príliš skoro na to povedať, či bol dôkaz skutočne načrtnutý, alebo či sa Atiyah len vybral do ďalšej slepej uličky, ktorej podstata sa ukáže napríklad až o niekoľko rokov. Ďalším krokom by - z pohľadu vedeckej komunity - mala byť štúdia vydaná v recenzovanom časopise. Matematická komunita sa zrejme tiež pozrie bližšie na zúbok onomu fyzikálnemu prepojeniu. "Povedie skôr k tomu, že sa teraz bude skúmať tá Toddova funkcia a či ju možno použiť tým spôsobom, ktorý Atiyah načrtol," myslí si Michal Bulant, prorektor pre štúdium a informačné technológie Masarykovej univerzity v Brne.
Pred predstavením dôkazu sa hovorilo o tom, že by prednáška mohla mať vplyv aj mimo akademickú sféru, napríklad na kyberbezpečnosť. "Dôsledkom Riemannovej hypotézy je presnejšia znalosť rozloženia prvočísel medzi ostatnými číslami. Potom by to mohlo mať dôsledky pre tie oblasti, kde sa prvočísla používajú, teda napríklad počítačová bezpečnosť a šifrovanie," hovorí Rokyta. "To už sú ale špekulácie. Tam by ale veľa záležalo na tom dôkaze, aká matematika by pre ten dôkaz bola použitá."
Okamžité dôsledky pre kryptografiu alebo ďalšie oblasti, ktorých sa Riemannova hypotéza a jej súvislosť s prvočíslami dotýka, sa zatiaľ nekonajú. Prednáška však napriek tomu ukázala, v čom spočíva krása matematiky: nečakané súvislosti. "V matematike sa môžu prepojiť koncepty z rôznych odborov. Stretnú sa tu myšlienky naprieč storočiami a zo všetkých častí sveta," povedal láskyplne Atiyah. Ak sa jeho teória nepotvrdí, Atiyahov prínos matematike tento neúspešný pokus nijako nezmenší.